給定三中線長之三角形面積

給定 $\triangle ABC$ 三中線長，則$\triangle ABC$面積有以下關係

$$a\triangle ABC=\frac{4}{3}\times 三中線所圍三角形面積$$

圖A

如圖，$\triangle ABC$ 三中線分別為$\overline{AF}$、$\overline{BD}$、$\overline{CE}$

假設 $\overline{AF}=3m$，$\overline{BD}=3n$，$\overline{CE}=3k$。

延伸$\overline{GE}$到$H$使得$\overline{GE}=\overline{EH}$ ，三角形中線線段比例為$2：1$；

其中$AGBH$為平行四邊形，所以有$\overline{AG}=\overline{HB}=2m$ 則可做下圖B

    圖B     

如上圖B可知$a\triangle GEB=a\triangle EHB$

若以三中線為邊長之三角形面積$R$，則其三邊分別為$\overline{AF}=3m$，$\overline{BD}=3n$，$\overline{CE}=3k$

假設如圖黃色區域$a\triangle GBH=r$，則其三邊分別為$\overline{BH}=2m$，$\overline{GB}=2n$，$\overline{GH}=2k$  

則可知三中線所圍三角形與$\triangle GBH$三邊只有倍數不同，所以面積比等於邊長平方比故有

$$R：r=3^2：2^2$$

所以有$R：r=9：4$，又有$a\triangle ABC：a\triangle GBH(r)=6：2$，則根據此二結果連比例知

$$R：a\triangle ABC=9：12　意即　a\triangle ABC=\frac{4}{3}R$$

得證