向量與面積比

$P$為$\triangle ABC$內一點，且$a\triangle APB$：$a\triangle APC$：$a\triangle BPC=m$：$n$：$k$，則有

$$\overrightarrow{OP}=\frac{k}{m+n+k}\overrightarrow{OA}+\frac{n}{m+n+k}\overrightarrow{OB}+\frac{m}{m+n+k}\overrightarrow{OC}$$

如圖延長$\overline{AP}$交$\overline{BC}$於$E$點

$case1$：因為$a\triangle APB$：$a\triangle APC=m:n$，所以可得

$\overline{BE}$：$\overline{EC}=m$：$n$，再由分點公式得

$$\overrightarrow{OE}=\frac{n}{m+n}\overrightarrow{OB}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{OC}$$

$case2$：$\overline{AP}$：$\overline{PE}=m+n$：$k$，同樣由分點公式得

$$\overrightarrow{OP}=\frac{k}{(m+n)+k}\overrightarrow{OA}+\frac{m+n}{(m+n)+k}\overrightarrow{OE}$$

綜上再將$case1$結果代入$case2$可得

$$\overrightarrow{OP}=\frac{k}{(m+n)+k}\overrightarrow{OA}+\frac{m+n}{(m+n)+k}\times(\frac{n}{m+n}\overrightarrow{OB}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{OC})$$

經乘開整理可得

$$\overrightarrow{OP}=\frac{k}{m+n+k}\overrightarrow{OA}+\frac{n}{m+n+k}\overrightarrow{OB}+\frac{m}{m+n+k}\overrightarrow{OC}$$   

得證

可特別注意當$O$令為$P$點時則有

$$\frac{k}{m+n+k}\overrightarrow{PA}+\frac{n}{m+n+k}\overrightarrow{PB}+\frac{m}{m+n+k}\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$$