向量與面積比


P\triangle ABC內一點,且a\triangle APBa\triangle APCa\triangle BPC=mnk,則有

\overrightarrow{OP}=\frac{k}{m+n+k}\overrightarrow{OA}+\frac{n}{m+n+k}\overrightarrow{OB}+\frac{m}{m+n+k}\overrightarrow{OC}


如圖延長\overline{AP}\overline{BC}E

case1:因為a\triangle APBa\triangle APC=m:n,所以可得

\overline{BE}\overline{EC}=mn,再由分點公式得

\overrightarrow{OE}=\frac{n}{m+n}\overrightarrow{OB}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{OC}

case2\overline{AP}\overline{PE}=m+nk,同樣由分點公式得
\overrightarrow{OP}=\frac{k}{(m+n)+k}\overrightarrow{OA}+\frac{m+n}{(m+n)+k}\overrightarrow{OE}

綜上再將case1結果代入case2可得

\overrightarrow{OP}=\frac{k}{(m+n)+k}\overrightarrow{OA}+\frac{m+n}{(m+n)+k}\times(\frac{n}{m+n}\overrightarrow{OB}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{OC})


經乘開整理可得
\overrightarrow{OP}=\frac{k}{m+n+k}\overrightarrow{OA}+\frac{n}{m+n+k}\overrightarrow{OB}+\frac{m}{m+n+k}\overrightarrow{OC}   
得證




可特別注意當O令為P點時則有
\frac{k}{m+n+k}\overrightarrow{PA}+\frac{n}{m+n+k}\overrightarrow{PB}+\frac{m}{m+n+k}\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}












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