向量與面積比
P為\triangle ABC內一點,且a\triangle APB:a\triangle APC:a\triangle BPC=m:n:k,則有
\overrightarrow{OP}=\frac{k}{m+n+k}\overrightarrow{OA}+\frac{n}{m+n+k}\overrightarrow{OB}+\frac{m}{m+n+k}\overrightarrow{OC}
如圖延長\overline{AP}交\overline{BC}於E點
case1:因為a\triangle APB:a\triangle APC=m:n,所以可得
\overline{BE}:\overline{EC}=m:n,再由分點公式得
\overrightarrow{OE}=\frac{n}{m+n}\overrightarrow{OB}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{OC}
case2:\overline{AP}:\overline{PE}=m+n:k,同樣由分點公式得
\overrightarrow{OP}=\frac{k}{(m+n)+k}\overrightarrow{OA}+\frac{m+n}{(m+n)+k}\overrightarrow{OE}
綜上再將case1結果代入case2可得
\overrightarrow{OP}=\frac{k}{(m+n)+k}\overrightarrow{OA}+\frac{m+n}{(m+n)+k}\times(\frac{n}{m+n}\overrightarrow{OB}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{OC})
經乘開整理可得
\overrightarrow{OP}=\frac{k}{m+n+k}\overrightarrow{OA}+\frac{n}{m+n+k}\overrightarrow{OB}+\frac{m}{m+n+k}\overrightarrow{OC}
得證
可特別注意當O令為P點時則有
\frac{k}{m+n+k}\overrightarrow{PA}+\frac{n}{m+n+k}\overrightarrow{PB}+\frac{m}{m+n+k}\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}
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