一路領先問題

不記名投票之下，甲得$m$票，乙得$n$票，且$m\geq n$，開票過程中甲的得票數一路領先乙的得票數之情況總共有
1.當領先狀況允許等於時(甲的得票數 $\geq$ 乙的得票數) $$C^{m+n}_{m}-C^{m+n}_{m+1}$$

2.當領先狀況不能等於時(甲的得票數 $>$ 乙的得票數) $$C^{m+n-1}_{m-1}-C^{m+n-1}_{m+1-1}$$


可將原問題轉換為走捷徑問題，舉例來說明：
$問$：當甲得$5$票，乙得$3$票時，開票過程中甲的得票數大於等於乙的得票數之情況為何？

視為下圖(a)，A走到$Z$的捷徑問題，共有5橫線段3縱線段構成，甲每得一票代表走一小段橫線，乙每得一票代表走一小段縱線，每一個捷徑走法對應到一種得票過程。

圖(a)

如圖(b)，則不難發現線段$\overline{AV}$上的點$A$、$H$、$O$、$V$為得票數平手的局面，例如$O$點即為兩橫兩縱，代表過程中甲得兩票乙得兩票的情況，而這在這個例題中是可以被允許的(得票數大於等於)。且更可以發現綠色的點就是違規的情況，故開票的過程中要避免經過綠色的點。

圖(b)

換句話說，可以先算所有捷徑的走法減去會通過綠色點的走法，即為所求。而要如何算出通過綠色的路徑數量呢？

首先經過綠色的極限情況是發生在線段$\overline{GU}$上，線段$\overline{GU}$仿佛形成一道界線，故我們從$\overline{GU}$畫一條對稱軸，如圖(c)，並對$A$、$B$、$C$...等三點做對稱於$\overline{GU}$的對稱點$A_1$、$B_1$、$C_1$...這邊只取這三個對稱點當代表，則所有A走到$Z$的捷徑情況都可以被一一對應到從$A_1$走到$Z$的情況，但從$A_1$走到$Z$的所有情況都會經過$\overline{GU}$(及違規)。

圖(c)

$C^{8}_{5}$如圖(d)，原始所有路徑(包含違規與不違規)

圖(d)

$C^{8}_{6}$如圖(e)，必通過綠色違規路徑

圖(e)

故所求即為$C^{8}_{5}-C^{8}_{6}$

所以如果題目改成不能等於，則紅色線段$\overline{AV}$即變為對稱軸，且並從$B$點開始走捷徑(因為甲一定要拿到第一票)，故同理可知起點變為$B$，對稱軸變為$\overline{AV}$，故答案為$C^{7}_{4}-C^{7}_{5}$(全部減1)